Daftar
Triple Pythagoras yang Kurang dari 1.000
Triple
Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif a, b, dan c yang
memenuhi Dalil Pythagoras .
Contoh:
sehingga
(3, 4, 5) merupakan Triple Pythagoras.
Jika
terdapat segitiga yang sisi-sisinya berukuran a, b, dan c maka
segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.Kemudian,
jika terdapat bilangan (na, nb, dan nc) yang merupakan perkalian
bilangan (a, b, dan c) dengan bilangan asli n, maka (na, nb, dan nc)
tersebut merupakan Triple Pythagoras juga. Misalnya, (6, 8, 10)
adalah hasil perkalian (3, 4, 5) dengan 2. Jadi, (6, 8, 10) merupakan
Triple Pythagoras.
Dan…
ini dia daftar Triple Pythagoras yang kurang dari 1.000. Untuk
catatan, pada daftar berikut hanya menampilkan (a, b, c) saja. Adapun
(na, nb, nc) tidak ditampilkan. Misalnya, (6, 8, 10) tidak
ditampilkan, yang ditampilkan hanya (3, 4, 5) saja.
(3,4,5)
|
(5,12,13)
|
(7,24,25)
|
(8,15,17)
|
(9,40,41)
|
(11,60,61)
|
(12,35,37)
|
(13,84,85)
|
(15,112,113)
|
(16,63,65)
|
(17,144,145)
|
(19,180,181)
|
(20,21,29)
|
(20,99,101)
|
(21,220,221)
|
(23,264,265)
|
(24,143,145)
|
(25,312,313)
|
(27,364,365)
|
(28,45,53)
|
(28,195,197)
|
(29,420,421)
|
(31,480,481)
|
(32,255,257)
|
(33,56,65)
|
(33,544,545)
|
(35,612,613)
|
(36,77,85)
|
(36,323,325)
|
(37,684,685)
|
(39,80,89)
|
(39,760,761)
|
(40,399,401)
|
(41,840,841)
|
(43,924,925)
|
(44,117,125)
|
(44,483,485)
|
(48,55,73)
|
(48,575,577)
|
(51,140,149)
|
(52,165,173)
|
(52,675,677)
|
(56,783,785)
|
(57,176,185)
|
(60,91,109)
|
(60,221,229)
|
(60,899,901)
|
(65,72,97)
|
(68,285,293)
|
(69,260,269)
|
(75,308,317)
|
(76,357,365)
|
(84,187,205)
|
(84,437,445)
|
(85,132,157)
|
(87,416,425)
|
(88,105,137)
|
(92,525,533)
|
(93,476,485)
|
(95,168,193)
|
(96,247,265)
|
(100,621,629)
|
(104,153,185)
|
(105,208,233)
|
(105,608,617)
|
(108,725,733)
|
(111,680,689)
|
(115,252,277)
|
(116,837,845)
|
(119,120,169)
|
(120,209,241)
|
(120,391,409)
|
(123,836,845)
|
(124,957,965)
|
(129,920,929)
|
(132,475,493)
|
(133,156,205)
|
(135,352,377)
|
(136,273,305)
|
(140,171,221)
|
(145,408,433)
|
(152,345,377)
|
(155,468,493)
|
(156,667,685)
|
(160,231,281)
|
(161,240,289)
|
(165,532,557)
|
(168,425,457)
|
(168,775,793)
|
(175,288,337)
|
(180,299,349)
|
(184,513,545)
|
(185,672,697)
|
(189,340,389)
|
(195,748,773)
|
(200,609,641)
|
(203,396,445)
|
(204,253,325)
|
(205,828,853)
|
(207,224,305)
|
(215,912,937)
|
(216,713,745)
|
(217,456,505)
|
(220,459,509)
|
(225,272,353)
|
(228,325,397)
|
(231,520,569)
|
(232,825,857)
|
(240,551,601)
|
(248,945,977)
|
(252,275,373)
|
(259,660,709)
|
(260,651,701)
|
(261,380,461)
|
(273,736,785)
|
(276,493,565)
|
(279,440,521)
|
(280,351,449)
|
(280,759,809)
|
(287,816,865)
|
(297,304,425)
|
(300,589,661)
|
(301,900,949)
|
(308,435,533)
|
(315,572,653)
|
(319,360,481)
|
(333,644,725)
|
(336,377,505)
|
(336,527,625)
|
(341,420,541)
|
(348,805,877)
|
(364,627,725)
|
(368,465,593)
|
(369,800,881)
|
(372,925,997)
|
(385,552,673)
|
(387,884,965)
|
(396,403,565)
|
(400,561,689)
|
(407,624,745)
|
(420,851,949)
|
(429,460,629)
|
(429,700,821)
|
(432,665,793)
|
(451,780,901)
|
(455,528,697)
|
(464,777,905)
|
(468,595,757)
|
(473,864,985)
|
(481,600,769)
|
(504,703,865)
|
(533,756,925)
|
(540,629,829)
|
(555,572,797)
|
(580,741,941)
|
(615,728,953)
|
(616,663,905)
|
(696,697,985)
|
Rumus
Euclid [ 1 ] adalah formula dasar untuk menghasilkan tiga kali lipat
Pythagoras diberikan sepasang sewenang-wenang bilangan bulat positif
m dan n dengan m > n . Rumus menyatakan bahwa bilangan
bulat
a = m ^ 2 - n ^ 2 , \ \ , b = 2 mn , \ \ , c = m ^ 2 + n ^ 2
membentuk tripel Pythagoras . Triple dihasilkan oleh rumus Euclid adalah primitif jika dan hanya jika m dan n coprime dan m - n adalah ganjil . Jika kedua m dan n adalah ganjil, maka a, b , dan c akan lebih , sehingga tiga tidak akan primitif , namun membagi a, b , dan c oleh 2 akan menghasilkan triple primitif jika m dan n coprime . [ 2 ]
Setiap tiga primitif muncul dari sepasang nomor unik coprime m, n , salah satunya bahkan . Ini mengikuti bahwa ada jauh lebih banyak tiga kali lipat Pythagoras primitif . Ini hubungan a, b dan c untuk m dan n dari rumus Euclid direferensikan sepanjang sisa artikel ini .
Meskipun menghasilkan semua tiga kali lipat primitif , rumus Euclid tidak memproduksi semua tiga kali lipat . Hal ini dapat diatasi dengan memasukkan parameter tambahan untuk k formula . Berikut ini akan menghasilkan semua Tripel Pythagoras unik :
a = k \ cdots ( m ^ 2 - n ^ 2 ) , \ \ , b = k \ cdots ( 2 juta ) , \ \ , c = k \ cdots ( m ^ 2 + n ^ 2 )
di mana m , n , dan k adalah bilangan bulat positif dengan m > n , m - n ganjil , dan dengan m dan n coprime .
Bahwa formula ini menghasilkan tiga kali lipat Pythagoras dapat diverifikasi dengan memperluas a2 + b2 menggunakan aljabar dasar dan memverifikasi bahwa hasilnya bertepatan dengan c2 . Karena setiap tripel Pythagoras dapat dibagi melalui oleh beberapa k integer untuk mendapatkan tiga primitif , setiap tiga dapat dihasilkan secara unik dengan menggunakan rumus dengan m dan n untuk menghasilkan mitra primitif dan kemudian mengalikannya melalui oleh k seperti pada persamaan terakhir .
Banyak formula untuk menghasilkan tiga kali lipat telah dikembangkan sejak zaman Euclid .
Bukti rumus Euclid
Bahwa kepuasan formula Euclid dengan a, b , c cukup untuk segitiga yang akan Pythagoras terlihat dari fakta bahwa untuk bilangan bulat positif m dan n , m > n , a , b , dan c diberikan oleh rumus semua positif bilangan bulat , dan dari kenyataan bahwa
a ^ 2 + b ^ 2 = ( m ^ 2 - n ^ 2 ) ^ 2 + ( 2 juta ) ^ 2 = ( m ^ 2 + n ^ 2 ) ^ 2 = c ^ 2 .
Sebuah bukti sederhana keharusan bahwa a, b , c dinyatakan dengan rumus Euclid untuk setiap primitif Pythagoras tiga adalah sebagai berikut . [ 3 ] Semua tiga kali lipat tersebut dapat ditulis sebagai (a , b , c ) di mana a2 + b2 = c2 dan a, b , c adalah coprime , dan di mana b dan c memiliki paritas yang berlawanan ( satu bahkan ada yang aneh ) . ( C Jika memiliki paritas yang sama dengan kedua kaki , kemudian jika semua bahkan parameter tidak akan coprime , dan jika semua yang aneh maka a2 + b2 = c2 akan menyamakan bahkan aneh . ) Dari ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 kita memperoleh c ^ 2 -a ^ 2 = b ^ 2 dan karenanya ( ca ) ( c + a) = b ^ 2 . Kemudian \ tfrac { ( c + a) } { b } = \ tfrac { b } { ( c - a) } . Sejak \ tfrac { ( c + a) } { b } adalah rasional , kita set sama dengan \ tfrac { m} { n } dalam hal terendah . Kami juga mengamati bahwa \ tfrac { ( ca ) } { b } sama dengan kebalikan dari \ tfrac { b } { ( ca ) } dan karenanya sama dengan kebalikan dari \ tfrac { ( c + a) } { b } , dan dengan demikian sama \ tfrac { n } { m} . kemudian pemecahan
\ frac { c } { b } + \ frac {a } { b } = \ frac { m} { n } , \ \ , \ frac { c } { b } - \ frac {a } { b } = \ frac { n } { m}
untuk \ tfrac { c } { b } dan \ tfrac {a } { b } memberikan
\ frac { c } { b } = \ frac {m ^ 2 + n ^ 2 } { 2 juta } , \ \ , \ frac {a } { b } = \ frac {m ^ 2 - n ^ 2 } { 2 juta } .
Sejak \ tfrac { c } { b } dan \ tfrac {a } { b } sepenuhnya dikurangi dengan asumsi , pembilang bisa disamakan dan penyebut bisa disamakan jika dan hanya jika sisi kanan setiap persamaan sepenuhnya berkurang , mengingat spesifikasi sebelumnya yang \ tfrac { m} { n } sepenuhnya berkurang , menyiratkan bahwa m dan n coprime , sisi kanan sepenuhnya berkurang jika dan hanya jika m dan n memiliki paritas yang berlawanan ( satu bahkan ada yang aneh ) sehingga bahwa pembilang tidak dibagi dengan 2 . ( Dan m dan n harus memiliki paritas sebaliknya: jika keduanya aneh kemudian membagi melalui \ tfrac {m ^ 2 + n ^ 2 } { 2 juta } oleh 2 akan memberikan rasio dari dua angka ganjil , menyamakan rasio ini \ tfrac { c } { b } , yang merupakan rasio dari dua angka dengan paritas berlawanan , akan memberikan berbagai perintah 2 - adic untuk nomor seharusnya sama ) Jadi menyamakan pembilang dan menyamakan penyebut , kita memiliki rumus Euclid a = m ^ 2 - . n ^ 2 , \ \ , b = 2 mn , \ \ , c = m ^ 2 + n ^ 2 dengan m dan n coprime dan paritas berlawanan .
Sebuah lebih lama tapi lebih biasa bukti diberikan dalam Maor ( 2007) [ 4 ] dan Sierpinski ( 2003) . [ 5 ]
Interpretasi parameter dalam formula Euclid
Misalkan sisi segitiga Pythagoras adalah m ^ 2 - n ^ 2 , 2 juta , dan m ^ 2 + n ^ 2 , dan anggaplah sudut antara kaki m ^ 2 - n ^ 2 dan sisi miring m ^ 2 + n ^ 2 dilambangkan sebagai \ theta . Kemudian segitiga siku-siku dengan kaki m dan n memiliki sudut \ theta / 2 antara m dan kaki (tidak harus rasional ) miring . [ 6 ]
a = m ^ 2 - n ^ 2 , \ \ , b = 2 mn , \ \ , c = m ^ 2 + n ^ 2
membentuk tripel Pythagoras . Triple dihasilkan oleh rumus Euclid adalah primitif jika dan hanya jika m dan n coprime dan m - n adalah ganjil . Jika kedua m dan n adalah ganjil, maka a, b , dan c akan lebih , sehingga tiga tidak akan primitif , namun membagi a, b , dan c oleh 2 akan menghasilkan triple primitif jika m dan n coprime . [ 2 ]
Setiap tiga primitif muncul dari sepasang nomor unik coprime m, n , salah satunya bahkan . Ini mengikuti bahwa ada jauh lebih banyak tiga kali lipat Pythagoras primitif . Ini hubungan a, b dan c untuk m dan n dari rumus Euclid direferensikan sepanjang sisa artikel ini .
Meskipun menghasilkan semua tiga kali lipat primitif , rumus Euclid tidak memproduksi semua tiga kali lipat . Hal ini dapat diatasi dengan memasukkan parameter tambahan untuk k formula . Berikut ini akan menghasilkan semua Tripel Pythagoras unik :
a = k \ cdots ( m ^ 2 - n ^ 2 ) , \ \ , b = k \ cdots ( 2 juta ) , \ \ , c = k \ cdots ( m ^ 2 + n ^ 2 )
di mana m , n , dan k adalah bilangan bulat positif dengan m > n , m - n ganjil , dan dengan m dan n coprime .
Bahwa formula ini menghasilkan tiga kali lipat Pythagoras dapat diverifikasi dengan memperluas a2 + b2 menggunakan aljabar dasar dan memverifikasi bahwa hasilnya bertepatan dengan c2 . Karena setiap tripel Pythagoras dapat dibagi melalui oleh beberapa k integer untuk mendapatkan tiga primitif , setiap tiga dapat dihasilkan secara unik dengan menggunakan rumus dengan m dan n untuk menghasilkan mitra primitif dan kemudian mengalikannya melalui oleh k seperti pada persamaan terakhir .
Banyak formula untuk menghasilkan tiga kali lipat telah dikembangkan sejak zaman Euclid .
Bukti rumus Euclid
Bahwa kepuasan formula Euclid dengan a, b , c cukup untuk segitiga yang akan Pythagoras terlihat dari fakta bahwa untuk bilangan bulat positif m dan n , m > n , a , b , dan c diberikan oleh rumus semua positif bilangan bulat , dan dari kenyataan bahwa
a ^ 2 + b ^ 2 = ( m ^ 2 - n ^ 2 ) ^ 2 + ( 2 juta ) ^ 2 = ( m ^ 2 + n ^ 2 ) ^ 2 = c ^ 2 .
Sebuah bukti sederhana keharusan bahwa a, b , c dinyatakan dengan rumus Euclid untuk setiap primitif Pythagoras tiga adalah sebagai berikut . [ 3 ] Semua tiga kali lipat tersebut dapat ditulis sebagai (a , b , c ) di mana a2 + b2 = c2 dan a, b , c adalah coprime , dan di mana b dan c memiliki paritas yang berlawanan ( satu bahkan ada yang aneh ) . ( C Jika memiliki paritas yang sama dengan kedua kaki , kemudian jika semua bahkan parameter tidak akan coprime , dan jika semua yang aneh maka a2 + b2 = c2 akan menyamakan bahkan aneh . ) Dari ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 kita memperoleh c ^ 2 -a ^ 2 = b ^ 2 dan karenanya ( ca ) ( c + a) = b ^ 2 . Kemudian \ tfrac { ( c + a) } { b } = \ tfrac { b } { ( c - a) } . Sejak \ tfrac { ( c + a) } { b } adalah rasional , kita set sama dengan \ tfrac { m} { n } dalam hal terendah . Kami juga mengamati bahwa \ tfrac { ( ca ) } { b } sama dengan kebalikan dari \ tfrac { b } { ( ca ) } dan karenanya sama dengan kebalikan dari \ tfrac { ( c + a) } { b } , dan dengan demikian sama \ tfrac { n } { m} . kemudian pemecahan
\ frac { c } { b } + \ frac {a } { b } = \ frac { m} { n } , \ \ , \ frac { c } { b } - \ frac {a } { b } = \ frac { n } { m}
untuk \ tfrac { c } { b } dan \ tfrac {a } { b } memberikan
\ frac { c } { b } = \ frac {m ^ 2 + n ^ 2 } { 2 juta } , \ \ , \ frac {a } { b } = \ frac {m ^ 2 - n ^ 2 } { 2 juta } .
Sejak \ tfrac { c } { b } dan \ tfrac {a } { b } sepenuhnya dikurangi dengan asumsi , pembilang bisa disamakan dan penyebut bisa disamakan jika dan hanya jika sisi kanan setiap persamaan sepenuhnya berkurang , mengingat spesifikasi sebelumnya yang \ tfrac { m} { n } sepenuhnya berkurang , menyiratkan bahwa m dan n coprime , sisi kanan sepenuhnya berkurang jika dan hanya jika m dan n memiliki paritas yang berlawanan ( satu bahkan ada yang aneh ) sehingga bahwa pembilang tidak dibagi dengan 2 . ( Dan m dan n harus memiliki paritas sebaliknya: jika keduanya aneh kemudian membagi melalui \ tfrac {m ^ 2 + n ^ 2 } { 2 juta } oleh 2 akan memberikan rasio dari dua angka ganjil , menyamakan rasio ini \ tfrac { c } { b } , yang merupakan rasio dari dua angka dengan paritas berlawanan , akan memberikan berbagai perintah 2 - adic untuk nomor seharusnya sama ) Jadi menyamakan pembilang dan menyamakan penyebut , kita memiliki rumus Euclid a = m ^ 2 - . n ^ 2 , \ \ , b = 2 mn , \ \ , c = m ^ 2 + n ^ 2 dengan m dan n coprime dan paritas berlawanan .
Sebuah lebih lama tapi lebih biasa bukti diberikan dalam Maor ( 2007) [ 4 ] dan Sierpinski ( 2003) . [ 5 ]
Interpretasi parameter dalam formula Euclid
Misalkan sisi segitiga Pythagoras adalah m ^ 2 - n ^ 2 , 2 juta , dan m ^ 2 + n ^ 2 , dan anggaplah sudut antara kaki m ^ 2 - n ^ 2 dan sisi miring m ^ 2 + n ^ 2 dilambangkan sebagai \ theta . Kemudian segitiga siku-siku dengan kaki m dan n memiliki sudut \ theta / 2 antara m dan kaki (tidak harus rasional ) miring . [ 6 ]
Tidak ada komentar:
Posting Komentar